第九十八章 牛頓二項式定理

　　1685年，沃利斯（Wallis）出版了《代數(shù)》（De Algebra），包含了牛頓二項式定理的最早描述。它也使哈利奧特的卓越貢獻(xiàn)為人所知。二項式定理，是一個a加b的n次方的展開計算。

　　沃利斯對牛頓說：“你最近在研究什么？”

　　牛頓說：“二項式定理?！?p>　　沃利斯說：“巴斯卡三角，甚至古中國的楊輝三角而已，還有什么好研究？”

　　牛頓說：“沒什么，僅僅是想前進(jìn)一步?！?p>　　沃利斯笑說：“這些東西有用嗎？”

　　牛頓笑著說：“我覺得有很多用，雖看樸素，但里面蘊(yùn)藏著很多能量?！?p>　　沃利斯說：“比如說？”

　　牛頓說：“我在想開二次方可以計算，就是不斷的將小數(shù)點后的數(shù)字，先寫成5，大的讓這個數(shù)變成4，小了讓這個數(shù)變成6。然后一直不斷往后寫，就可以慢慢的遍歷出個無窮的樣子?！?p>　　沃利斯說：“那又如何，不用二項式，我蒙著這樣乘下去不就可以了？”

　　牛頓說：“開3次，還用這樣的辦法的話，就困難了，同時開3次以上的話，就更難了?！?p>　　沃利斯說：“繼續(xù)說?！?p>　　牛頓說：“我想吧二項式中的n，從整數(shù)變成分?jǐn)?shù)來計算。也可以?！?p>　　沃利斯說：“如果是整數(shù)，可以有帕斯卡三角，或者是一種組合公式來表示系數(shù)。分?jǐn)?shù)的你該怎么辦呢？”

　　牛頓說：“很容易，把那個組合公式中的n也變成對應(yīng)的分?jǐn)?shù)，甚至負(fù)數(shù)都可以?！?p>　　沃利斯抬頭開始想牛頓說的這個組合公式的變化。

　　沃利斯開始去寫1加x的負(fù)一次方的展開，寫成了無窮的形式，等于1減去x的平方加x的二次方減x的三次，一直到無窮。因為組合方程計算出來的是1和-1這兩個數(shù)字的交替。x的奇數(shù)次方的系數(shù)是負(fù)一，x的偶數(shù)次方的系數(shù)是正一。

　　疑惑的說：“等等，變成負(fù)數(shù)我還可以想象，變成分?jǐn)?shù)這還用意義嗎？”

　　牛頓說：“為什么沒有意義，也沒有人規(guī)定一定是整數(shù)呀，你腦子太死板，不知道其中的奧秘，這里面有很多有趣的數(shù)學(xué)意義?！?p>　　沃利斯也開始嘗試的開始寫二分之一次方的組合方程，然后帶入到1加x的二分之一次方，也寫出了看著復(fù)雜一些的無窮的級數(shù)。

　　沃利斯看著這個花里胡哨的東西，對牛頓說：“這個東西有作用嗎？看著花哨?！?