勒讓德教授貝塞爾二階微分方程相關(guān)知識。
貝塞爾說：“你這個多項式是從哪里來的？”
勒讓德說：“從勒讓德方程推導出來的?！?p> 貝塞爾說：“勒讓德方程是從哪里來的？”
勒讓德說：“從連帶勒讓德方程得到的，這個方程在m值為0，也就是在軸對稱情況下得到的。在球函數(shù)方程分離變量時，可出現(xiàn)連帶勒讓德方程。”
貝塞爾說：“連帶勒讓德方程又是什么東西？”
勒讓德說：“連帶勒讓德方程是一個二階常微分方程?！?p> 貝塞爾說：“二階常微分方程是這個樣子嗎？”
貝塞爾說著，寫出了方程：y''+py'+qy=0。
勒讓德說：“這是齊次的的二階常系數(shù)線性微分方程?！?p> 勒讓德寫了方程y''+py'+qy=f(x)，這個是二階常系數(shù)線性微分方程，對貝塞爾說：“還必須是其中 y1和y2的比值為常數(shù)才可以，如果不是常數(shù)，就是非齊次的。”
貝塞爾說：“你是研究這些方程解法的吧？一般有哪些方法？”
勒讓德說：“有待定系數(shù)法、多項式法、常數(shù)變易法和微分算子法等?！?p> 貝塞爾說：“二階常系數(shù)線性微分方程如何解呢？”
勒讓德說：“先寫出特征方程?！?p> 勒讓德寫出了y''+py'+qy=0的特征方程r^2+pr+q=0。
然后寫出特征方程的解后，然后寫出三種條件下的通解：
1.兩個不相等的實根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)
2.兩根相等的實根：y=(C1+C2x)e^(r1x)
3.一對共軛復根：r1=α+iβ，r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
貝塞爾說：“那如何得到非齊次的解？”
勒讓德說：“通解等于非齊次方程特解加齊次方程通解?！?p> 貝塞爾說：“這個有什么用嗎？”
勒讓德說：“在工程技術(shù)及力學和物理學中都有十分廣泛的應(yīng)用。”