第一百九十三章 狄利克雷條件（傅立葉級(jí)數(shù)）

　　傅里葉很驕傲的認(rèn)為，任何一個(gè)周期信號(hào)都可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。

　　雖然很多人都認(rèn)為有爭(zhēng)議，但卻沒(méi)有有力論據(jù)。

　　狄利克雷對(duì)傅里葉說(shuō)：“不是所有的周期信號(hào)都可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)?！?p>　　傅里葉說(shuō)：“什么樣的不可以?！?p>　　狄利克雷說(shuō)：“周期里帶一些古怪的無(wú)窮大的，就不可以。”

　　傅里葉說(shuō)：“如何的古怪法？”

　　狄利克雷說(shuō)：“聽(tīng)說(shuō)過(guò)間斷點(diǎn)吧?！?p>　　間斷點(diǎn)有第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)：

　　第一類間斷點(diǎn)的左極限和右極限都是存在的，有可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。

　　第二類間斷點(diǎn)指函數(shù)的左右極限至少有一個(gè)不存在，有無(wú)窮間斷點(diǎn)，振蕩間斷點(diǎn)，單側(cè)間斷點(diǎn)，狄利克雷函數(shù)間斷點(diǎn)。

　　傅里葉從沒(méi)細(xì)細(xì)考慮過(guò)這個(gè)，覺(jué)得狄利克雷轉(zhuǎn)牛角尖說(shuō)：“我知道，可去間斷點(diǎn)難道不可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)嗎？跳躍間斷點(diǎn)難道不可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)嗎？”

　　狄利克雷說(shuō)：“無(wú)窮間斷點(diǎn)不可以，單側(cè)間斷點(diǎn)不可以?！?p>　　狄利克雷話還沒(méi)說(shuō)完，傅里葉打斷：“等等，還有狄利克雷函數(shù)間斷點(diǎn)。你這個(gè)函數(shù)既不連續(xù)，有不可導(dǎo)，當(dāng)然不可以了?！闭f(shuō)完二人哈哈大笑。

　　狄利克雷說(shuō)：“所以，想要讓周期函數(shù)能展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，要么函數(shù)連續(xù)，要么只有幾個(gè)第一類間斷點(diǎn)?！?p>　　傅里葉說(shuō)：“是的，我不會(huì)去處理第二類間斷點(diǎn)這么麻煩的東西?！?p>　　狄利克雷說(shuō)：“在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)?！?p>　　傅里葉說(shuō)：“你的意思是，如果是無(wú)限個(gè)最大值和最小值，我的就處理不過(guò)來(lái)？”

　　狄利克雷說(shuō)：“還有一個(gè)條件是，信號(hào)是絕對(duì)可積的?！?p>　　傅里葉說(shuō)：“還有不可積的周期函數(shù)？”

　　狄利克雷寫(xiě)出了不可積函數(shù)，sinx/x求x積分，sinx^2求x積分等函數(shù)。

　　狄利克雷條件是一個(gè)信號(hào)存在傅里葉變換的充分不必要條件。狄利克雷條件括三方面：

　?。?）在一周期內(nèi)，連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；

　　（2）在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)；

　?。?）在一周期內(nèi)，信號(hào)是絕對(duì)可積的。