第二百二十九章 柯西的微積分規(guī)范（微積分）

　　拉普拉斯也覺得柯西的文章數(shù)目太多了，讓人目不暇接。覺得柯西主要一有空腦子里就會(huì)想數(shù)學(xué)的事情，很多事情僅僅是一種講究，根本就沒必要去當(dāng)一會(huì)兒事。

　　拉普拉斯對(duì)柯西說：“你的論文太多，繁雜而繚亂，這對(duì)研究數(shù)學(xué)不利。你應(yīng)該少而簡(jiǎn)單點(diǎn)才對(duì)?！?p>　　柯西一聽到拉普拉斯如此說，心想，這樣不是第一次被人質(zhì)疑了?；蛟S有的人就是因?yàn)榧刀拾??？挛髡f：“你說說看，數(shù)學(xué)走到今天，還能怎么簡(jiǎn)單得下來。而且，你給你一個(gè)絕望的消息，數(shù)學(xué)以后可能會(huì)越來越多，一生都不會(huì)有人學(xué)完?！?p>　　拉普拉斯說：“不會(huì)吧，盡量還是有幾句話就點(diǎn)透一個(gè)人吧。”

　　柯西說：“大方向肯定可以點(diǎn)透一個(gè)人，但是數(shù)學(xué)中有很多重要的細(xì)節(jié)。如果你不當(dāng)回事兒，別人可以找出其中的麻煩?！?p>　　拉普拉斯跟柯西說：“即使有了發(fā)現(xiàn)，有必要寫這么多嗎？你的文章大家都看不完?！?p>　　柯西說：“確實(shí)多了些，但是我的東西還是需要細(xì)細(xì)的看。因?yàn)?，我在研究?shù)學(xué)的過程中發(fā)現(xiàn)了一些驚人的東西。我敢保證，這肯定是數(shù)學(xué)的未來?！?p>　　拉普拉斯說：“你的那些東西是未來？”

　　柯西說：“就比如微積分，如果不使用我的這種語言來描述。而僅僅用牛頓和萊布尼茨的那種描述，那就會(huì)被無窮小到零這樣的問題來反駁。”

　　拉普拉斯說：“我認(rèn)為初學(xué)者不應(yīng)該使用你這種描述方式，畢竟微積分是一個(gè)公式，本領(lǐng)不算難，但經(jīng)過你這種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒?，反而弄得難了。讓很多本來可以學(xué)會(huì)的學(xué)生，都知難而退了。”

　　柯西說：“那也得這樣來，人就是這樣的，你簡(jiǎn)單點(diǎn)，他們挑你毛病，你仔細(xì)點(diǎn)，對(duì)方就學(xué)不會(huì)。只能說，被嚇退的，僅僅是因?yàn)檫€不夠愛數(shù)學(xué)而已。”

　　拉普拉斯無話可說，但是依然不太服氣。

　　1821年柯西出版了《分析教程》，這是第一次將數(shù)學(xué)分析建立在正式基礎(chǔ)上。它為巴黎綜合理工學(xué)院的學(xué)生設(shè)計(jì)，致力于盡可能嚴(yán)格地發(fā)展微積分的基本定理。

　　柯西是極限理論的集大成者，他使得整個(gè)微積分理論建立在極限理論的基礎(chǔ)之上，使分析學(xué)開始一步步走向嚴(yán)格化?？梢哉f，分析學(xué)的歷史發(fā)展是以柯西為分界線的，而后面的數(shù)學(xué)大師們都可看作是他的門徒。

　　以嚴(yán)格化為目標(biāo)，柯西對(duì)微積分的基本概念，如變量、函數(shù)、極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、收斂等等給出了明確的定義，并在此基礎(chǔ)上重建和拓展了微積分的重要事實(shí)與定理。以下是柯西關(guān)于極限的定義：

　　當(dāng)屬于一個(gè)變量的相繼大的值無限地趨近某個(gè)固定值時(shí)，如果最終固定值之差可以隨意地小，那么這個(gè)固定值就稱為所有這些值的極限。

　　然而柯西的極限思想并不是沒有缺陷的。極限理論在當(dāng)時(shí)還只能說是“比較嚴(yán)格”，人們不久便發(fā)現(xiàn)柯西的理論實(shí)際上也存在漏洞。例如，他用了許多“無限趨近”、“想要多小就多小”等直覺描述的語言。

　　我們?cè)谶@里不得不提到另外一位傳奇的分析學(xué)大師——魏爾斯特拉斯。

　　為什么極限理論的建立需要實(shí)數(shù)理論？

　　我們不妨開門見山，首先要問——我們的連續(xù)性是否需要實(shí)數(shù)？柯西列極限的存在性是否需要實(shí)數(shù)？零點(diǎn)定理的保證是否也需要實(shí)數(shù)？

　　如果數(shù)系不是連續(xù)的，是離散的，那么某些數(shù)列的極限是否存在就值得懷疑。

　　我們知道，現(xiàn)代的極限定義是用實(shí)數(shù)來定義一個(gè)數(shù)列的極限值的。但是對(duì)于有理柯西列，放在有理數(shù)域，它的極限值就不一定存在。

　　另外，我們考慮介值定理，最簡(jiǎn)單的就是零點(diǎn)存在定理。想象一下一條曲線穿過數(shù)軸，直觀的判斷必然會(huì)有零點(diǎn)存在嗎？我們說，當(dāng)然，怎么可能沒有零點(diǎn)存在呢。不過，我們這里已經(jīng)默認(rèn)這樣一條數(shù)軸是連續(xù)的，這里就要糾結(jié)一下，這里的數(shù)是什么，是單純的有理數(shù)嘛？這時(shí)還沒有實(shí)數(shù)。

　　因?yàn)橛欣頂?shù)盡管是稠密的，但它是離散的，而且無理數(shù)還沒有被嚴(yán)格定義。如果不嚴(yán)格定義實(shí)數(shù)，不是放在實(shí)數(shù)系去考慮，那么單純借助極限理論我們無法得到這樣美妙且直觀的定理。

　　我們不禁要大聲疾呼：

　　連續(xù)性需要實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義！

　　柯西列極限的存在需要實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義！

　　零點(diǎn)定理的保證也同樣需要實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義！