第三百零三章 黎曼幾何（曲面、微分幾何、復(fù)變函數(shù)）

　　黎曼成功畢業(yè)了，但還是個困難戶。為了謀生，他希望能成為講師，黎曼申請了無薪講師，是指學(xué)校不提供固定的薪酬，收入完全來自于聽課學(xué)生所繳納的學(xué)費的講師。而想要成為講師，不但要提交論文，還得給學(xué)院的教授做一個資格演講。于是在1853年，黎曼提交了一份求職論文。

　　論文中推廣了保證博里葉展開式成立的狄利克萊條件，即關(guān)于三角級數(shù)收斂的黎曼條件，研究出三角級數(shù)收斂的準(zhǔn)則，并定義了黎曼積分，對完善分析理論產(chǎn)生深遠的影響。

　　當(dāng)時的資格演講是有一套固定模式和傳統(tǒng)的，申請者須向系主任提交三個演講題目，但通常只準(zhǔn)備前兩個題目。作為選題目的系主任會為了不為難申請者，一般只選前兩個題目中的一個。

　　如此看來，黎曼其實能夠輕易就通過演講的，只是他遺忘了一點，那就是當(dāng)時的系主任是高斯，而高斯壓根不知道這個規(guī)矩，然后黎曼悲劇了。

　　黎曼申請講師需要就職演講，演講的審核人都是數(shù)學(xué)家的專家人物，其中也有高斯。

　　黎曼準(zhǔn)備夠幾個題目讓審核人挑選其中之一，讓黎曼講解被挑選的題目。

　　這些題目都是前沿的數(shù)學(xué)，是考察講師的水平的。

　　高斯對黎曼給出的幾個題目進行選擇，高斯選擇了一個比較奇怪的題目《關(guān)于幾何學(xué)的基本假設(shè)》。高斯選這個題目是想看看黎曼跟自己的認識觀是否相同。高斯最近在思考環(huán)繞數(shù)的概念，這是描述三維空間中兩條閉曲線環(huán)繞的一個數(shù)值不變量。直觀上，環(huán)繞數(shù)表示每一條曲線纏繞另一條曲線的次數(shù)。環(huán)繞數(shù)總是整數(shù)，但有可能取正數(shù)或負數(shù)，取決于這兩條曲線的定向。

　　黎曼先是驚了一下，這是黎曼為了湊夠數(shù)目的一個題目，自己沒有打算要講，卻被高斯抽中，而且自己只有一個星期的準(zhǔn)備時間了。

　　沒辦法，黎曼只能趕緊準(zhǔn)備，然后硬著頭皮上。

　　黎曼有些后悔，覺得這次的無薪講師申請不上，恐怕自己以后沒有任何可以糊口的工作了。畢竟搞數(shù)學(xué)只能在大學(xué)里，社會上哪里用得著？看來高斯有點針對自己。

　　黎曼開始就職演說，講《關(guān)于幾何學(xué)的基本假設(shè)》。

　　“……幾何學(xué)的對象缺乏先驗的定義，歐幾里德的公理只是假設(shè)了未定義的幾何對象之間的關(guān)系，而我們卻不知道這些關(guān)系怎么來的，甚至不知道為什么幾何對象之間會存在關(guān)系……”

　　老師們聽得面面相覷，不知道黎曼講了什么，只有高斯略有所思。高斯想起了自己被校領(lǐng)導(dǎo)刁難的樣子，從黎曼身上看到自己的影子。

　　“……我認為，幾何對象應(yīng)該是一些多度延展的量，體現(xiàn)出各種可能的度量性質(zhì)。而我們生活的空間只是一個特殊的三度延展的量，因此歐幾里德的公理只能從經(jīng)驗導(dǎo)出，而不是幾何對象基本定義的推論。歐氏幾何的公理和定理根本就只是假設(shè)而已。但是，我們可以考察這些定理成立的可能性，然后再試圖把它們推廣到我們?nèi)粘Ｓ^察的范圍之外的幾何?！?p>　　老師們有點想打斷這個演講，但是沒好意思讓他停止。高斯沉浸在扭結(jié)問題問題中，這是一個研究如何判斷繩子是否打結(jié)的課題，即當(dāng)兩段閉合的繩子纏繞在一起時，如何只通過觀察，就判斷繩子間是否產(chǎn)生扭結(jié)的問題。除了判斷繩子是否打結(jié)以外，還有研究如何給扭結(jié)分類的問題。

　　“……我認為應(yīng)該有一個n維流形的概念，即流形的局部與 n 維歐氏空間的局部具有相同的拓撲性質(zhì)，并闡述了關(guān)于延展性、維數(shù)、以及將延展性數(shù)量化的想法?！?p>　　老師們聽完了黎曼的講解后，表示紛紛聽不懂。

　　而高斯則說：“太棒了，幾何應(yīng)該變革了，以前的幾何學(xué)無法再滿足當(dāng)下的要求了。”

　　整個過程中，他特別指出了日常生活中不適用歐幾里得規(guī)則的例子，比如球面。在球面上所有經(jīng)線都與赤道相交呈90°，因此這些經(jīng)線會彼此平行，卻在極點相交。

　　就這樣，一個小時的《論作為幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》演講成為了數(shù)學(xué)史上發(fā)表的內(nèi)容最豐富的長篇論文，而且在表述方面也堪稱典范，勾勒出一個截然不同的幾何世界（超越了歐幾里得的幾何世界）。

　　這次的演講不但發(fā)揚了高斯關(guān)于曲面的微分幾何研究，建立了黎曼空間的概念，還開創(chuàng)了黎曼幾何，為愛因斯坦的廣義相對論提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。因此高斯興奮不已，順利讓黎曼獲得了講師職位。

　　在黎曼之后，龐加萊繼續(xù)研究黎曼留下來的n維流形，他創(chuàng)立了用剖分來研究流形的基本方法，同時引進了許多不變量：基本群、同調(diào)、貝蒂數(shù)、撓系數(shù)。不過最著名的，還是他在研究三維流形時留下的“龐加萊猜想”。