第三百七十一章 林德曼證明π是無(wú)理數(shù)（超越數(shù)）

　　以前的人計(jì)算圓周率，是要探究圓周率是否是循環(huán)小數(shù)。

　　自從1761年Lambert證明了圓周率是無(wú)理數(shù)。

　　蘭伯特知道了麥克勞林級(jí)數(shù)，表示出了正弦和余弦的無(wú)窮級(jí)數(shù)的表達(dá)式子。

　　蘭伯特就知道了正切就是正弦比余弦，那么正切的無(wú)窮級(jí)數(shù)也可以表示出來(lái)了。

　　用了很久的時(shí)間，蘭伯特寫(xiě)出了正切的表達(dá)式，這是一個(gè)有趣的連分式。

　　同時(shí)蘭伯特認(rèn)為，如果四分之π的正切值等于一，那么此中的x就是無(wú)理數(shù)無(wú)疑了，也就是四分之π就是無(wú)理數(shù)，那么π就是無(wú)理數(shù)了。

　　林德曼在1882年解決了一個(gè)關(guān)于π的重要問(wèn)題時(shí)，證明了π是一個(gè)“超越”數(shù)，即π不可能是代數(shù)方程（一個(gè)僅含x的指數(shù)項(xiàng)的方程）的解。

　　林德曼用反證法，假設(shè)π，也就是πi是一個(gè)多項(xiàng)式方程的一個(gè)解，他把n次的標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成每一項(xiàng)都是e指數(shù)加1這種形式，如果有πi這個(gè)解的話，這個(gè)多項(xiàng)式就是0，這是因?yàn)闅W拉方程的緣故。

　　使用了域論的知識(shí)，證明里面每個(gè)解有理組合后的值是有理數(shù)，就說(shuō)明沒(méi)有πi這個(gè)解。

　　通過(guò)解決這個(gè)難題，林德曼給出了“化圓為方”這一問(wèn)題的結(jié)論，此問(wèn)題為:給定一個(gè)圓，如何利用一對(duì)圓規(guī)和直尺，構(gòu)造一個(gè)和它面積一樣的正方形。林德曼最后證明了，這個(gè)問(wèn)題是不可能做到的。

　　因此，“化圓為方”問(wèn)題僅用直尺和圓規(guī)是無(wú)法完成的。