第五百五十四章 巴拿赫泛函分析(泛函數(shù))
斯泰因豪斯對(duì)巴拿赫說(shuō):“你對(duì)函數(shù)的理解已經(jīng)足夠深刻了,可能是個(gè)革命。”
巴拿赫說(shuō):“以前研究函數(shù)是數(shù)字,方程這些東西。而對(duì)我來(lái)說(shuō),函數(shù)應(yīng)該更加廣泛才對(duì)。所以,就叫更廣泛的函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)泛函數(shù)?!?p> 斯泰因豪斯說(shuō):“你的意思是?”
巴拿赫說(shuō):“自變量和因變量純粹就是集合,要按照集合的樣子嚴(yán)謹(jǐn)分析。”
斯泰因豪斯說(shuō):“你的意思是不僅限于數(shù)字,而是任何一種可以組成集合的元素,也就是任何一種研究對(duì)象?比如,數(shù)字、圖形、符合甚至語(yǔ)言等等?”
巴拿赫說(shuō):“沒(méi)錯(cuò),但是在這里面我們需要嚴(yán)格定義。”
斯泰因豪斯說(shuō):“如何嚴(yán)格呢?”
巴拿赫說(shuō):“首先我研究的是無(wú)限維空間,而且無(wú)限維空間必須要有各個(gè)單位,成為基。這需要引入佐恩引理?!?p> 斯泰因豪斯說(shuō):“我知道,是在任何一非空的偏序集中,若任何全序的子集都有上界,則此偏序集內(nèi)必然存在極大元。數(shù)字有大小,集合的大小也就是這樣了。按照偏序集來(lái),真正序不太可能了?!?p> 巴拿赫說(shuō):“主要原因是來(lái)源于非歐幾何,我們?yōu)榱俗屨麄€(gè)幾何結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn),才在希爾伯特空間基礎(chǔ)上加工出這樣的結(jié)構(gòu)來(lái)?!?p> 泛函分析目前包括以下分支:
軟分析,其目標(biāo)是將數(shù)學(xué)分析用拓?fù)淙?、拓?fù)洵h(huán)和拓?fù)湎蛄靠臻g的語(yǔ)言表述。
巴拿赫空間的幾何結(jié)構(gòu),以Jean Bourgain的一系列工作為代表。
非交換幾何,此方向的主要貢獻(xiàn)者包括Alain Connes,其部分工作是以George Mackey的遍歷論中的結(jié)果為基礎(chǔ)的。
與量子力學(xué)相關(guān)的理論,狹義上被稱(chēng)為數(shù)學(xué)物理,從更廣義的角度來(lái)看,如按照Israel Gelfand所述,其包含表示論的大部分類(lèi)型的問(wèn)題。