第四百五十二章 玻爾-諾伊格鮑爾概周期函數(shù)（函數(shù)論）

　　玻爾-諾伊格鮑爾理論闡明常系數(shù)線性微分方程有界解為概周期解的重要理論.玻爾(Bohr，H.)最早指出：概周期函數(shù)f(t)的積分是概周期函數(shù)的充分必要條件是，F(xiàn)(t)對一切t∈R為有界.這就解決了最簡單的一階概周期微分方程dx/dt=f(t)是否存在概周期解的問題.以此為基礎(chǔ)，對于一階線性常系數(shù)概周期方程以及一般n維非齊次線性常系數(shù)概周期微分方程dx/dt=Ax+f(t)。

　　其中A為n×n常量矩陣，f(t)為概周期n維向量函數(shù)，論證它們的有界解即概周期解的理論，稱為玻爾-諾伊格鮑爾理論.

　　哈那德·波爾說：“你為什么想要編撰古代精密科學(xué)的研究？是不想研究現(xiàn)代的嗎？”

　　諾伊格鮑爾對波爾說：“正相反，我致力于做古代科學(xué)研究，正是因?yàn)楝F(xiàn)在的科學(xué)就是從古代而來，看過古代科學(xué)之后，可以溫故而知新，更加熟練的了解現(xiàn)在的科學(xué)?！?p>　　波爾說：“那你還會研究現(xiàn)在的科學(xué)嗎？”

　　諾伊格鮑爾說：“是的，其實(shí)我知道這些東西增加了我對文獻(xiàn)學(xué)的理解。”

　　波爾說：“哪些是實(shí)用的？”

　　諾伊格鮑爾說：“我們需要把沒用的文獻(xiàn)，一腳踢開。大量沒用的，占用時間的，或者是重復(fù)的文獻(xiàn)是在占用時間，連一個字都不能多留下?！?p>　　波爾說：“然后只讀一些新的，最新鮮的，這樣可以保證讓自己一直快速有效的得到新知識?！?p>　　諾伊格鮑爾說：“沒錯，這也是讀文獻(xiàn)的真正目的。隨著文獻(xiàn)的增加，我們肯定需要更多的知識充實(shí)自己，然后讓自己做出更多有效的貢獻(xiàn)。”

　　隨后兩個人的交談轉(zhuǎn)向了數(shù)學(xué)問題。

　　波爾說：“前一段時間考慮的系數(shù)線性微分方程有界解為概周期解的問題，考慮過了嗎？”

　　概周期函數(shù)又稱殆周期函數(shù)，周期函數(shù)的一種推廣，具有某種近似周期性的有界連續(xù)函數(shù)。概周期函數(shù)是在研究周期函數(shù)某種性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出來的。三角多項(xiàng)式以及三角多項(xiàng)式序列的極限都是周期函數(shù)。而三角和序列的極限卻未必是周期函數(shù)。但這類極限函數(shù)的特征可以用某種近似周期性來刻畫。

　　不同的周期函數(shù)由于周期不盡相同，其和、差或乘積不一定再是周期函數(shù)。概周期函數(shù)盡管未必有嚴(yán)格的周期性，但可擁有一些比周期函數(shù)更好的性質(zhì)。這一概念首先于1925年被丹麥數(shù)學(xué)家哈那德·玻爾引進(jìn)，后來赫曼·外爾、貝西科維奇等人也有研究和推廣。貝西科維奇因概周期函數(shù)方面的貢獻(xiàn)獲得了1931年劍橋大學(xué)的亞當(dāng)斯獎。

　　諾伊格鮑爾說：“如果定義域有界，那就可以成為概周期?！?p>　　哈那德·波爾本人是波爾的弟弟，他的哥哥是個著名的量子物理學(xué)家。而他不遜色自己的哥哥。

　　如同周期函數(shù)一樣，任何概周期函數(shù)都是有界的，且一致連續(xù)。

　　如果f 是概周期函數(shù)，那么對于任意實(shí)數(shù)a，f(x+a)、 f(ax)、af(x)、|f(x)|也是概周期函數(shù)。

　　如果 f 和g 都是概周期函數(shù)，那么f+g、f-g和都是概周期函數(shù)。

　　如果f(x)是概周期函數(shù)，H是f 的值域到R上的一致連續(xù)函數(shù)，則 H(f(x))也是概周期函數(shù)。

　　如果概周期函數(shù)的序列在實(shí)軸上一致收斂于函數(shù)f(x)，則f(x)也是概周期函數(shù)。

　　如果f(x)是概周期函數(shù)，則f'(x)為概周期函數(shù)的充分必要條件是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)一致連續(xù)。

　　如果f(x)是概周期函數(shù)，則F(x)為概周期函數(shù)的充要條件為F(x)有界。