柯爾莫哥洛夫將概率論做了根本性的修正。他所使用的是一種由法國傳入的名為測度論。
測度論將長度、面積、體積等概念泛化，使得無法被常規(guī)方法測量的數學對象可能被測量。例如，一個有無限多個孔的正方形，被切割成了無窮多份并散落在了無限的平面中，借助測度論我們仍然可以表示出這個七零八碎的物體的“面積”（測度）。
1933年，柯爾莫哥洛夫的專著《概率論的基礎》出版，書中第一次在測度論基礎上建立了概率論的嚴密公理體系。
學生格涅堅科看到了柯爾莫哥洛夫的概率公理體系，一共就三條。
1.一個事件的概率大于等于零。
2.至少一種可能的結果發(fā)生的概率為1。
3.如果兩事件不可能同時發(fā)生，那么這兩個事件其中有一個發(fā)生的概率等于各個事件發(fā)生的概率之和。
格涅堅科說：“老師，為什么要弄這三條公理？起來很簡單呀，有什么了不起的？”
柯爾莫哥洛夫說：“概率論作為數學學科，可以而且應該從公理開始建設，和幾何、代數的路一樣?！?p> 格涅堅科說：“我想知道，你這里有什么特殊的改變？”
柯爾莫哥洛夫說：“我引入了概率測度?！?p> 格涅堅科說：“測度代表的是研究集合的“大小”和“面積”的，怎么用在概率中的？”
柯爾莫哥洛夫說：“我的這三個公理規(guī)定了有界性、規(guī)范性和有限可加性，分別跟三個公理的第一二三條對應。因為現(xiàn)代的數學都是以集合論為基礎的，所以概率也需要用集合論的語言來描述。”
大圓悖論（The Paradox of the Great Circle）就是通過柯爾莫哥洛夫的概率論得以解決的。大圓悖論是說，假設有外星人會隨機降落到一個完美的球形星球上，且降落到每個點的概率也都是平均的，這是否意味著所有球體的大圓（great circle，即過球心的平面和球面的交線，把球體分成了兩個相等的半球）上的降落概率都是一樣的呢？
其結果是，對于赤道所在的大圓而言，圓上每個點的概率是均等的。而對于經線來說，靠近赤道的點概率大，靠近兩極的點概率小。
這一發(fā)現(xiàn)或許可以用越靠近赤道緯度圈越大來解釋。
但是，這種結果與我們的直覺相違背，因為對于一個完美的球體而言，通過旋轉，赤道可以變成任意一條經線。
柯爾莫哥洛夫認為，大圓是一條線段，面積是零，因此測度為零。這一悖論的矛盾之處就在于我們無法嚴格計算相關的概率。