第四百九十四章 柯爾莫哥洛夫的隨機過程論（概率與統(tǒng)計）

　　柯爾莫哥洛夫是隨機過程論的奠基人之一。

　　柯爾莫哥洛夫證明：相容的有限維概率分布族決定無窮維概率分布的“相容性定理”，解決了隨機過程的概率分布的存在問題。

　　柯爾莫哥洛夫的學(xué)生阿諾爾德說：“老師，你的隨機過程是什么？”

　　柯爾莫哥洛夫說：“一件事，或者一個系統(tǒng)，他的發(fā)生，需要有很多零部件，而這些零部件都會有一定的概率。通過研究這些零部件的概率，來研究這個系統(tǒng)的可行性和穩(wěn)定性?！?p>　　阿諾爾德說：“聽起來很麻煩呀，我們以后會接觸到這些東西嗎？”

　　柯爾莫哥洛夫說：“那是肯定的。很多東西在制造以前，我們需要模擬它的存在，已經(jīng)它運作時的合理性。所以以后，肯定有用的?！?p>　　阿諾爾德說：“可是，為什么不直接跳過這個麻煩的過程。畢竟是理論化的，離顯示還差些距離。我們直接研究存在的東西就可以了。如果沒有，我們直接制造出來，不管三七二十一。”

　　柯爾莫哥洛夫說：“簡單的，肯定是這樣的，但是復(fù)雜的，尤其是昂貴的。如果造出來，根本就不合理，甚至沒法用，那就白花很多錢，不劃算。”

　　阿諾爾德恍然大悟的點點頭。

　　柯爾莫哥洛夫說：“除此以外，我們模擬這個隨機過程的時候，會更加深刻的理解這個機構(gòu)。如果只是制造出來用，那復(fù)雜一些的東西，我們未必能完全明白其內(nèi)部的構(gòu)造。”

　　提出了現(xiàn)代的一般的條件概率和條件期望的概念并導(dǎo)出了他們的基本性質(zhì)，使馬爾可夫過程以及很多關(guān)于隨機過程的概念得以嚴(yán)格地定義并論證..

　　20世紀(jì)20年代，在概率論方面他還作了關(guān)于強大數(shù)律、重對數(shù)律的基本工作：他和辛欽成功地找到了具有相互獨立的隨機變量的項的級數(shù)收斂的必要充分條件；

　　他成功地證明了大數(shù)法則的必要充分要件；證明了在項上加上極寬的條件時獨立隨機變量的重對數(shù)法則；

　　得到了在獨立同分布項情形下強大數(shù)法則的必要充分條件.

　　20世紀(jì) 30年代，他建立了馬爾可夫過程的兩個基本方程.

　　他的卓越論文《概率論的解析方法》為現(xiàn)代馬爾可夫隨機過程論和揭示概率論與常微分方程及二階偏微分方程的深刻聯(lián)系奠定了基礎(chǔ).

　　他還創(chuàng)立了具有可數(shù)狀態(tài)的馬爾可夫鏈理論.

　　他找到了連續(xù)的分布函數(shù)與它的經(jīng)驗分布函數(shù)之差的上確界的極限分布，這個結(jié)果是非參數(shù)統(tǒng)計中分布函數(shù)擬合檢驗的理論依據(jù)，成為統(tǒng)計學(xué)的核心之一.

　　1949年，格涅堅科和柯爾莫哥洛夫發(fā)表了專著《相互獨立隨機變數(shù)之和的極限分布》，這是一部論述20世紀(jì)30年代以來，柯爾莫哥洛夫和辛欽等以無窮可分律和穩(wěn)定律為中心的的獨立隨機變量和的弱極限理論的總結(jié)性著作.

　　在20世紀(jì)30—40年代之交，柯爾莫哥洛夫建立了希爾伯特空間幾何與平穩(wěn)隨機過程和平穩(wěn)隨機增量過程的一系列問題之間的聯(lián)系.給出了這兩種過程的譜表示，完整地研究了它們的結(jié)構(gòu)以及平穩(wěn)隨機過程的的內(nèi)插與外推問題等.

　　他的平穩(wěn)過程的結(jié)果創(chuàng)造了一個全新的隨機過程論的分支，在科學(xué)和技術(shù)上有廣泛的應(yīng)用；而他的關(guān)于平穩(wěn)增量隨機過程的理論對于各向同性湍流的研究有深刻的影響.