第五百九十四章 霍恩貝格-科恩定理（量子力學(xué)）

　　早在科恩-沈呂九方程提出之前，物理學(xué)家們對周期性材料體系已經(jīng)有了原始但模糊的認(rèn)識，電子是一種全同(狄拉克)費(fèi)米子（當(dāng)然今天最新的進(jìn)展認(rèn)為這個觀點(diǎn)不再全面，但與本文關(guān)系不大，詳見外爾Weyl費(fèi)米子、馬約拉那Majorana費(fèi)米子），以下簡稱費(fèi)米子。

　　霍恩貝格-科恩定理堪稱科恩-沈呂九方程的理論基石，它的內(nèi)容如下：

　　不計自旋的全同費(fèi)米子系統(tǒng)的基態(tài)能量是粒子數(shù)密度函數(shù)的唯一泛函；

　　能量泛函在粒子數(shù)不變條件下在正確的粒子數(shù)密度函數(shù)中達(dá)到極小值，此數(shù)值等于系統(tǒng)基態(tài)能量。

　　進(jìn)而粒子數(shù)密度函數(shù)確定后，直接決定基態(tài)所有物理性質(zhì)：能量、波函數(shù)以及所有力學(xué)量算符的期待值；

　　簡言之，一旦知道固體中的電子數(shù)密度函數(shù)，就等價于知道了能量泛函的極小值，并且這個極小值就是體系絕對零度下（所有狀態(tài)能量最低的溫度）基態(tài)的能量。

　　如上一期所講，密度泛函理論這套體系中所有算符的作用對象都是密度函數(shù)，它與科恩-沈呂九方程的關(guān)系如同傳統(tǒng)量子力學(xué)中波函數(shù)之于薛定諤方程；而論物理含義，波函數(shù)的模方表示在位矢處找到某個電子的概率，與之對應(yīng)的，密度函數(shù)的模則反應(yīng)了在位矢處觀測到電子的數(shù)目。

　　那么結(jié)合泡利不相容原理原理，對于某一種特定的材料，原子核點(diǎn)陣產(chǎn)生的周期性勢場一定、電子總數(shù)一定的情況下，基態(tài)的電子密度分布應(yīng)當(dāng)是唯一確定的。

　　這句話等效于說密度函數(shù)唯一確定，對應(yīng)的基態(tài)能量也應(yīng)當(dāng)是唯一確定的。

　　進(jìn)而對于給定的體系，隨給出任意一個試探解，我們都可以使用數(shù)學(xué)上的變分法一步一步最終找到能量本征值最小的密度函數(shù)。

　　而在找到所有窮盡的可能的密度函數(shù)之后，這當(dāng)中誰的能量本征值最小，誰就是基態(tài)真正的密度函數(shù)。