第五百九十五章 陳省身示性數(shù)（曲面幾何）

　　大數(shù)學(xué)家陳省身有一次在北京大學(xué)的講座中語驚四座：“人們常說三角形內(nèi)角和等于180°，這是不對的。”大家愕然，三角形內(nèi)角和是180°，這不是數(shù)學(xué)常識嗎?接著陳省身做了精辟的解答：說“三角形內(nèi)角和為180°”不對，不是說這個事實不對，而是說這種看問題的方法不對，應(yīng)當說“三角形外角和是360°”。

　　把眼光盯住內(nèi)角，只能看到三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°……如果看外角呢，三角形的外角和是360°，四邊形的外角和是360°，五邊形的外角和是360°……任意n邊形外角和都是360°。這樣就把多種情形用一個十分簡單的結(jié)論概括起來了，一個與邊無關(guān)的常數(shù)代替了與邊有關(guān)的公式，找到了更一般的規(guī)律。

　　大家看清題目了，是問凹四邊形的外角和是多少?

　　凹四邊形有一個角為凹角，即180-360度，另外三個是凸角，即0-180度.

　　假設(shè)凹四邊形ABCD，角C為凹角，連接BD，則其內(nèi)角和為∠A+∠B+∠D+360-∠BCD=∠A+∠B+∠D+（180-∠BCD）+180=∠A+（∠ABC+∠CBD）+（∠ADC+∠BDC）+180=∠A+∠B+∠D+180=180+180=360度，又內(nèi)外角之和為180*4=720，所以凹四邊形外角和是720-360=360度.

　　任意一個凸（或凹）n多邊形，都可分畫為n-2個三角形，因此凹多邊形的內(nèi)角和，也適用（N-2）180°這個公式。理由是：（1）先把凹多邊形畫分成n-2個三角形（2）每個三角形的內(nèi)角和為180°，所以凹多邊形內(nèi)角和為（n-2)×180°凹多邊形的外角和并不恒等于360°凹多邊形外角和是：360°n-(n-2)×180°=180°n+360°這就是凹多邊形內(nèi)角和與外角和及邊的關(guān)系。

　　五邊形的外角和都是360°，任何一個多邊形的外角和都是固定值，為360°。五邊形在平面幾何學(xué)上指所有由五條邊圍襯成及有五只角的多邊形。完美五邊形和正五邊形都是五邊形的一種特殊類型。正五邊形，是正多邊形的一種，有將正五邊形的對角線連起來，可以造成一個五角星。組成的圖形里可以找到一些和黃金分割（φ=(√5-1)/2）有關(guān)的長度。

　　“多邊形外角和等于360°”這條普遍規(guī)律把幾何學(xué)引入了新的天地，由此發(fā)展出來的“陳氏類”理論被譽為劃時代的貢獻，在理論物理學(xué)上有重要的應(yīng)用。

　　顛覆了日常的認知，將人類的思考帶入到一個新的天地，這便是數(shù)學(xué)家的眼光。這種眼光是怎樣的，張景中有一個概括：“數(shù)學(xué)家的眼光是抽象的，我們覺得不同的問題，他們看來卻是相同的。數(shù)學(xué)家的眼光是精確的、嚴密的，我們覺得一樣的東西，他們看來卻有天地之別。數(shù)學(xué)家的眼光是透徹的、犀利的，我們覺得很滿足的數(shù)學(xué)結(jié)論他們卻窮追不舍。數(shù)學(xué)家的眼光是辯證的，我們覺得一是一、二是二，他們卻常常盯住變中不變的東西，不變中變的東西。”

　　繼續(xù)去想，發(fā)現(xiàn)在非歐幾何下，任意多邊形的外角和就不是360度了，不論是多少度，反正可以去度量曲面的彎曲程度。

　　用什么去度量曲面呢？當然是矩陣了，矩陣就要直接反應(yīng)曲面的彎曲程度了。

　　那么這個矩陣就要具備反應(yīng)曲面外角和大小的能力，跟已知其他度量曲線的能力一般。